Родился 30 июня 1941 года в Киеве в семье военнослужащего. Отец после демобилизации работал директором школы, мама — учителем. В 1951 году переехал в город Копейск. Анатолий Сергеевич окончил среднюю школу №6 в 1957 году, а в 1958 году поступил на исторический факультет Челябинского педагогического института. С 1961 по 1975 год работал учителем, в 1975 году возглавил коллектив средней школы №1, где и трудится до сих пор. Общий педагогический стаж А.С. Бароненко составляет 56 лет, из которых 50 лет он является директором школы. Учащихся и выпускников МОУ СОШ №1, среди которых много медалистов, отличают глубокие разносторонние знания. Это подтверждают результаты олимпиад, конференций научного общества учащихся, итоговой государственной аттестации.
В 1988 году Анатолий Сергеевич был избран делегатом Всесоюзного съезда работников образования. Его выступление о путях развития образования вызвало большую дискуссию, было опубликовано во многих центральных газетах. А.С. Бароненко является автором более 100 научных публикаций, в том числе монографий по истории, философии, педагогике. Его научные интересы касаются развития познавательной активности учащихся, формирования культуры старшеклассников, воспитания гражданственности. В 1990—2004 годы Анатолий Сергеевич был трижды избран депутатом Копейского городского Совета депутатов, в 1990—1993 — народным депутатом РСФСР, членом парламентского комитета по науке и образованию. В 1993 году исполнял обязанности полпреда оперативной координационной группы Верховного Совета РФ в Челябинской области по решению экономических и социальных проблем, в 1996 году — заместителя председателя горсовета, входил в состав комиссии по правам человека при Губернаторе Челябинской области. С 2001 года участвует в работе докторского диссертационного и экспертного совета при Челябинском государственном педагогическом университете, является членом—корреспондентом международной академии общественных наук.
В 1999 году Анатолию Сергеевичу присвоена учёная степень доктора педагогических наук, в декабре 2000 года избирался депутатом Законодательного Собрания Челябинской области, заместителем председателя комитета по социальной политике.
А.С. Бароненко — лауреат премии Губернатора Челябинской области, обладатель грантов Президента РФ и Губернатора Челябинской области лучшим учителям. Его деятельность отмечена высшей профессиональной наградой — медалью имени К.Д. Ушинского, почётным знаком «За заслуги перед Копейском».
25 августа 1999 года постановлением Копейского городского Совета депутатов №282 А.С. Бароненко присвоено звание «Почётный гражданин города Копейска».