Родился 16 марта 1960 года в городе Копейске Челябинской области. После окончания средней школы в 1977 году работал в ДЮСШ №2 механиком по ремонту велосипедов. В 1985 году окончил вечернее отделение Челябинского политехнического института, в 1997 году – Высшую школу тренеров при Московской академии физкультуры и спорта. Велоспортом Игорь Ефимович начал заниматься с 1972 года. Работал тренером с 1977 года, старшим тренером СДЮШОР №2 с 1984 года, в 1996 году стал тренером сборной команды России по велоспорту на шоссе. Является членом главного тренерского совета Федерации велоспорта России.
И.Е. Ивашин является организатором всероссийских соревнований по велоспорту, проводимых в Челябинской области и Республике Башкортостан, таких как: чемпионаты России среди мужчин, юниоров, первенство России среди девушек в Олимпийских видах, многодневная гонка, соревнования на призы заслуженного мастера спорта Г. Сайдхужина, чемпионат Урала среди женщин, финал II летней Спартакиады учащихся России в гонках на шоссе и маунтинбайке. Игорь Ефимович – председатель Федерации велоспорта Челябинской области, делегат всех конгрессов Федерации велоспорта России, на XXI отчётно—перевыборном конгрессе избран Вице—президентом Федерации велоспорта России, является национальным комиссаром ФВСР, судьёй всероссийской категории.
Копейская спортивная детско—юношеская школа №2 по велоспорту на X конгрессе Федерации спорта России признана лучшей в стране, в этом немалая заслуга Игоря Ефимовича, который за годы работы подготовил более 40 кандидатов в мастера спорта, 22 мастера спорта и 5 мастеров спорта международного класса. Его воспитанники входят в сборные команды России, являются победителями престижных международных соревнований по велоспорту. Игорь Ефимович неоднократно признавался лучшим тренером—преподавателем Челябинской области, является заслуженным тренером России, лауреатом конкурса «Человек года» в номинации «Гуманитарная деятельность по Копейскому городскому округу», награждён знаком «Отличник физической культуры и спорта», почётным знаком «За заслуги перед Копейском».
25 августа 2010 года решением Собрания депутатов Копейского городского округа Челябинской области №104 И.Е. Ивашину присвоено звание «Почётный гражданин города Копейска».